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Les lois de la perspective


Pour plus de compréhension, nous accompagnerons les définitions par des activités et démonstrations mathématiques (la plupart extraites de la brochure de Faire des mathématiques à partir de leur histoire, Tome II, 1995, que l'on peut commander sur le site de l'IREM de Rennes à l'adresse : http://www.irem.univ-rennes1.fr/ ).


I-Projection centrale    

 

Soit, dans l’espace, un point O, dit origine ou point de vue, et une surface S. On définit la projection centrale (également appelée projection conique) d’un point M comme étant le point d’intersection M’ de la droite OM et de S. Ce point est défini si et seulement si la droite OM rencontre S en un seul point. Il est également appelé image de M. L’image d’un corps quelconque de l’espace est l’ensemble des images des tous les points de ce corps (Fig. 1).

figure1_

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Figure 1. Projection conique d’un corps quelconque sur une surface.

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Une perspective centrale (dite parfois linéaire) n’est autre qu’une projection centrale. La droite OM est appelée rayon visuel, et l’ensemble des rayons visuels issus de O rencontrant un corps donné est la pyramide visuelle associée à ce corps. (Géométriquement, il s’agit en fait d’un cône, c’est à dire une réunion de droite passant par un point fixe.)


Dans le cas particulier où la surface S est un plan T (ne contenant pas O), les propriétés suivantes sont vérifiées :


1-Soit dans l’espace un ensemble de droites parallèles entres elles et non parallèles à T ; leurs images forment un ensemble de droites de T privées d’un point concourantes. Un ensemble de droites parallèles ou concourantes est aussi appelé faisceau de droites. Le point de concours, qui ne dépend que de la direction commune aux droites de l’espace, s’appelle le point de fuite associé à ces droites ; c’est aussi la projection de O sur T selon cette direction (Fig. 2).

figure2_

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Figure 2. Image de droites parallèles, de point de fuite associé F.

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voir l'activité associée : montrer que le projeté d'une droite est une droite
voir l'activité associée : représenter le projeté de droites


 

2-Un ensemble de droites parallèles entre elles et parallèles à T a pour image un ensemble de droites de T parallèles (Fig. 3).

figure3_

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Figure 3. Image de droites parallèles à T.

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Fuite et distance, (vocabulaire associé)

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Point de fuite principal :

Toujours dans le cas d’un plan, on peut singulariser le point de fuite F associé aux droites de l’espace orthogonales à T : on l’appelle point de fuite principal, ou –s’il n’y a pas d’ambiguïté- le point de fuite. D’après ce qui précède, c’est aussi la projection orthogonale de O sur T, et OF représente la distance du point de vue au plan de projection.


Horizon :

Soit maintenant un ensemble de droites de l’espace parallèles entre elles, et dont la direction fait un angle de 45° avec OF ; le point de fuite correspondant vérifie OF = FD (D appartenant à T). Dans le cas particulier où ces droites sont horizontales, on obtient deux directions possibles, donc deux points appelés points de distances, noté D1 et D2  ( ce sont les projections horizontales à 45° de O sur T) (Fig. 4).

 

La droite reliant le point de fuite à ces deux points de distance s’appelle l’horizon ; c’est l’ensemble des points de fuite associés aux directions des droites horizontales.

figure4_

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Figure 4. Point de fuite F et point de distance D1 et D2.

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voir activité associée : mise en évidence de la ligne d'horizon

Pour repérer l’image d’un point (ou d’un corps) de l’espace situé dans un plan horizontal, on trace sur ce plan un « damier », c’est-à-dire un quadrillage régulier former de droites équidistantes, les unes parallèles à T appelées  transversales ou frontales, les autres orthogonales dites fuyantes au moyen desquelles on repère la position du point ou du corps. Pour placer l’image du point, il suffit de construire l’image du damier sur T : les images des droites orthogonales à T concourent vers F (voir la définition du point de fuite), tandis que les diagonales du damier-images concourent vers <p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p>La Perspective : de quoi s’agit-il </p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p>D1 et D2 (Fig. 5).

fig5

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Figure 5. Damier réel (en bas) et damier image (en haut).

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voir activité associée : mise en perspective d'un carrelage

On utilise la technique du damier car les diagonales forment un angle de 45° avec les droites du carrelage qui deviendront les fuyantes sur le plan T. Ainsi, on respecte la loi dictée appliquée à la figure 4. Plus simplement que le damier pour reproduire l’image d’un point M, le peintre peut tracer une droite perpendiculaire à son tableau (appelé ici T) passant par M et M’ son projeté orthogonal sur le tableau, puis la droite qui forme un angle de 45° avec la droite (MM’). On appelle K l’intersection de T avec cette droite qu’on appelle (MK). On appelle m le projeté de M sur T. m est l’intersection de la droite <p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p>La Perspective : de quoi s’agit-il </p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p>(KD1) et de la droite (M’F).

 

 

figure6_

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Figure 6. Projection du point M sur le tableau T.

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voir l'activité associée : mise en perspective d'un point

Cette technique nous permettra de reproduire des figures beaucoup plus complexes comme par exemple des cercles. (Fig. 7)

figure7_

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Figure 7. Mise en perspective d’un cercle.

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On remarquera que le résultat obtenu n’est pas très satisfaisant. En effet, si l’on assimile ce cercle à une vue de dessus d’une assiette posée sur une surface plane, on peut admettre que l’assiette soit vue en perspective comme un ovale mais on est en droit d’attendre qu’elle soit vue comme un ovale posé à plat.

Il aurait fallut que le point de fuite soit situé à la verticale du centre du cercle.

Les peintres de la Renaissance  étaient souvent confrontés à ce problème lorsqu'ils voulaient représenter des assiettes. Je vous renvoie donc à la page consacrée au tableau La Cène de De Vinci, qui a donc fait exception à une représentation perspective exacte pour ne pas choquer le spectateur.


De plus, si l’on examine de plus près la figure proposée, on constate que la distance <p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p><p>La Perspective : de quoi s’agit-il </p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p></p>FD1 est faible (6 cm). Il faudrait donc, pour être dans les conditions d’observation correspondant au dessin, coller son œil à 6 cm de la feuille. A cette distance, on ne peut plus négliger la distance entre les deux yeux. On est donc prié d’en fermer un…et le cercle apparaît à plat.

voir la suite : le perspectographe