Rappels de géométrie dans l'espace


I - Détermination d'un plan

Un plan est déterminé par :

  • Trois points non alignés

rapa1_

  • Une droite et un point extérieur à la droite
    rapa2_

  • Deux droites sécantes
    rapa3_

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II - Positions relatives d'une droite et d'un plan dans l'espace

Une droite dans l'espace peut être :

  • Contenue dans le plan P

rapb1_

  • Sécante au plan P

rapb2_

  • Parallèle au plan P

rapb23

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III - Positions relatives de deux droites de l'espace

Deux droites dans l'espace peuvent être :

  • Sécantes et coplanaires

rapa3_

  • Parallèles et coplanaires

rapc2

  • Non coplanaires

rapc3_

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IV - Droite perpendiculaire à un plan

Une droite perpendiculaire à deux droites sécantes d'un plan, est perpendiculaire à ce plan.

rapd1_


Si une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

rapd2_

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V - Positions relatives de deux plans

Deux plans peuvent êtres :

  • Parallèles

rape1_

  • Sécants (l'intersection est une droite)

rape2_

  • Perpendiculaires

rape3_
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VI - Projection orthogonale d'un point sur un plan

Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point M' du plan P tel que la droite (MM') soit perpendiculaire au plan P.

Le projeté orthogonal d'un point N du plan P est le point N lui même.

rapf_

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VII - Projection orthogonale d'un segment sur un plan

Le projeté orthogonal d'un segment [AB] sur un plan P est le segment [A'B'] tel que les points A' et B' soient respectivement les projetés orthogonaux sur P de A et B.

rapg

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Autres rappels de mathématiques


I - Théorème de Thalès

Si un faisceau de droites parallèles coupent deux droites sécantes données, les couples de segments ainsi déterminés sur les deux droites sont dans un même rapport. Dans le cas de la figure si-dessous, on a :

             |ab|/|a'b'| = |cd|/|c'd'|


Capture01

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La propriété suivante, relative aux triangles semblables, est souvent appelée théorème de Thalès également.

Si, comme dans la figure ci-dessous, deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les points d'intersection a, b, c, b', c' ainsi déterminés sont tels que :

|ab|/|ac| = |ab'|/|ac'| = |bb'|/|cc'|


Capture03

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II - Suite géométrique

Une suite u1, u2, u3, ... de nombres réels non nuls est dite géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant c’est-à-dire :

u2/u1 = u3/u2 = u4/u3 = …

Ce quotient est appelé la raison de la suite.

u1, u2, u3, ... sont les termes de la suite et u1, le premier terme.