Girard Desargues, inventeur de la géométrie projective

Girard Desargues (1591-1661), alias S. G. D. L. (le Sieur Girard Desargues Lyonnais comme il signe lui-même), était un architecte et géomètre lyonnais. Il est considéré comme le fondateur de la géométrie projective.

En 1636, il publie son "Exemple de l'une des manières universelles du S. G. L. D. touchant la pratique de la perspective sans employer aucun tiers poinct, de distance ou d'autre nature qui soit hors de l'ouvrage". Dans cet ouvrage, de même que Dürer proposait une façon abrégée de construction du carrelage d'Alberti, il propose une construction abrégée de l'image perspective d'un corps (comme l'indique le titre celle-ci peut se faire sans tiers point). Dans un "cartouche" situé en haut à droite de la figure, le corps est représenté par sa projection réduite sur le plan au sol (géométral) ; en haut à gauche, figure un damier réduit obtenu par la méthode du point de distance. La mise à l'échelle du damier réduit et du géométral permettent de reporter les diminutions en hauteur et en largeur dans le cas où les points de distance se trouveraient hors du champ du tableau.

Note : On peut remarquer que, au fil du temps et suivant les différents savants, la notion de la perspective évolue d'une "valeur" assez floue à une méthode géométrique et algébrique stricte.

Il décrit ensuite brièvement la transformation perspective de droites parallèles en droites concourantes, et généralise cette propriété à un ensemble de plans parallèles ou bien possédant un droite commune.

Pour finir, il évoque rapidement la représentation perspective d'une conique. Il définit là les bases de la géométrie projective (celle-ci définit toutes les lois de projection en perspective, bases de la perspective).

En 1647, Abraham Bosse, qui a suivi les leçons de Desargues, publie dans sa "Manière universelle de Mr Desargues...", une réédition du petit traité de son maître, suivie de propositions inédites (sans doutes rédigées directement par Desargues), parmi lesquelles le théorème sur les triangles perspectifs.


Théorème de Desargues

 

En géométrie projective, son énoncé est le suivant :

Soient un triangle (A, B, C) de R^3 situé dans le plan (S) et (A', B', C') son image. Les droites AA', BB', CC' sont concourantes en O. S'il n'est pas parallèle au plan (T), formons la droite D1, intersection de (T) avec (S). Les droites AB et A'B' étant situées dans le même plan OAB, se rencontrent en un point de D1 (point à l'infini si AB est parallèle à D1). De même pour AC et A'C', pouis BC et B'C'.

Dans le cas où (T) est parallèle à (S), les deux triangles sont homothétiques (c'est-à-dire proportionnels : l'homothétie conserve les angles et les rapports mais pas les distances), et les droites AB et A'B' sont parallèles, ainsi que les droites BC et B'C', et pour finir AC, A'C'.

 

Etudions le cas où (T) est le plan (S). Ce cas est plus complexe que les précédents, puisque D1 n'est pas aussi simplement définie. En imaginant le rabattement, dans le premier cas, de (S) sur (T) autour de D1, on constate l'invariance de D1 et des points d'intersection à ce dernier cas (d'une nature différente, répétons-le, des précédents), on peut énoncer le théorème de Desargues sur les triangles perspectifs :


Les côtés homologues de deux triangles se déduisant l'un de l'autre par une projection centrale, sont alignés.

 

th_odesargues

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Théorème de Desargues sur les triangles perspectifs.

voir la suite, partie II : la théorisation de la perspective ; les lois de la perspective