La perspective centrale

Alberti ne dit ni plus ni moins que certains peintres faisaient  « de lourdes erreurs en peinture » car ils dessinaient les carreaux de façon à ce que leurs « hauteurs » forment une suite géométrique de raison 2/3.

1. Montrer que si la suite était géométrique de raison 2/3, un couloir ne pourrait jamais avoir une longueur infinie. On considèrera la suite géométrique de premier terme 1. On calculera la somme de ses termes quand ceux-ci tendent vers l’infini.

2. Montrer que la suite des « hauteurs » A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃… (voir schéma ci-dessous) n’est pas une suite géométrique. On posera : l, longueur du côté des carreaux du carrelege, OF = d et FA₀ = h.

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Filippo Brunelleschi : inventeur de la perspective

On attribue à Brunelleschi (1377-1446), peintre, orfèvre et architecte de l'école florentine, l'invention de la perspective. N'ayant pas trace de ses travaux, il peut paraître difficile d'interpréter ce que ses biographes ont écrit. Pourtant grâce à la description de sa fameuse expérience, on comprend qu'il avait déjà acquis un grand nombre des notions fortes de la perspective.
Dans son expérience -voir la partie Renaissance, où l'expérience est illustrée-, Brunelleschi se plaça devant le baptistère Saint-Jean de Florence muni d'une planchette en bois percée d'un trou en son milieu et d'un miroir. Un des côté de la planchette représentait une partie du baptistère qu'il avait peint, l'autre côté était laissé nu.
Puis, il plaça l'envers de la planchette devant ses yeux, en plaçant un œil devant l'orifice pratiqué dans celle-ci. Tout en conservant cette planchette dans une main, il soutenait de l'autre son miroir, celui-ci placé entre le baptistère et la planchette.

Brunelleschi voyait ainsi le dessin superposé au baptistère former un tout : le dessin représentait "le vrai".

Dans son expérience, Brunelleschi identifie le point de fuite en tant que projection du point de vue grâce au jeu du miroir. Ces deux point sont donc définis ensemble, ils forment une paire indissociable. On sait, en effet, que dans une représentation perspective chacun dépend de l'autre.
De plus, le fait que Brunelleschi n'ait pratiqué qu'un seul orifice dans sa planchette, signifie qu'il assimile déjà le point de fuite comme un point unique et fixe.
Le fait que seule la distance du miroir entre le baptistère et le peintre soit variable, montre que les lois de la perspective reposent sur les distances.

voir la suite : Alberti

Girard Desargues, inventeur de la géométrie projective

Girard Desargues (1591-1661), alias S. G. D. L. (le Sieur Girard Desargues Lyonnais comme il signe lui-même), était un architecte et géomètre lyonnais. Il est considéré comme le fondateur de la géométrie projective.

En 1636, il publie son "Exemple de l'une des manières universelles du S. G. L. D. touchant la pratique de la perspective sans employer aucun tiers poinct, de distance ou d'autre nature qui soit hors de l'ouvrage". Dans cet ouvrage, de même que Dürer proposait une façon abrégée de construction du carrelage d'Alberti, il propose une construction abrégée de l'image perspective d'un corps (comme l'indique le titre celle-ci peut se faire sans tiers point). Dans un "cartouche" situé en haut à droite de la figure, le corps est représenté par sa projection réduite sur le plan au sol (géométral) ; en haut à gauche, figure un damier réduit obtenu par la méthode du point de distance. La mise à l'échelle du damier réduit et du géométral permettent de reporter les diminutions en hauteur et en largeur dans le cas où les points de distance se trouveraient hors du champ du tableau.

Note : On peut remarquer que, au fil du temps et suivant les différents savants, la notion de la perspective évolue d'une "valeur" assez floue à une méthode géométrique et algébrique stricte.

Il décrit ensuite brièvement la transformation perspective de droites parallèles en droites concourantes, et généralise cette propriété à un ensemble de plans parallèles ou bien possédant un droite commune.

Pour finir, il évoque rapidement la représentation perspective d'une conique. Il définit là les bases de la géométrie projective (celle-ci définit toutes les lois de projection en perspective, bases de la perspective).

En 1647, Abraham Bosse, qui a suivi les leçons de Desargues, publie dans sa "Manière universelle de Mr Desargues...", une réédition du petit traité de son maître, suivie de propositions inédites (sans doutes rédigées directement par Desargues), parmi lesquelles le théorème sur les triangles perspectifs.

Théorème de Desargues

En géométrie projective, son énoncé est le suivant :

Soient un triangle (A, B, C) de R^3 situé dans le plan (S) et (A', B', C') son image. Les droites AA', BB', CC' sont concourantes en O. S'il n'est pas parallèle au plan (T), formons la droite D1, intersection de (T) avec (S). Les droites AB et A'B' étant situées dans le même plan OAB, se rencontrent en un point de D1 (point à l'infini si AB est parallèle à D1). De même pour AC et A'C', pouis BC et B'C'.

Dans le cas où (T) est parallèle à (S), les deux triangles sont homothétiques (c'est-à-dire proportionnels : l'homothétie conserve les angles et les rapports mais pas les distances), et les droites AB et A'B' sont parallèles, ainsi que les droites BC et B'C', et pour finir AC, A'C'.

Etudions le cas où (T) est le plan (S). Ce cas est plus complexe que les précédents, puisque D1 n'est pas aussi simplement définie. En imaginant le rabattement, dans le premier cas, de (S) sur (T) autour de D1, on constate l'invariance de D1 et des points d'intersection à ce dernier cas (d'une nature différente, répétons-le, des précédents), on peut énoncer le théorème de Desargues sur les triangles perspectifs :

Les côtés homologues de deux triangles se déduisant l'un de l'autre par une projection centrale, sont alignés.

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Théorème de Desargues sur les triangles perspectifs.

voir la suite, partie II : la théorisation de la perspective ; les lois de la perspective

Vitruve

Marcus Vitruvius Pollio est un architecte florentin qui vécut au premier siècle avant J.-C. Il est le premier du monde gréco-romain à mentionner clairement une technique plus ou moins apparentée à la perspective.
Dans son traité "Dix livres de l'architecture", il parle de la "scenographia" comme "frontis" et "laterum absendentium adumbratio ad circinique centrum omnium linearum respondis" [la représentation de la façade et des murs latéraux de façon à ce que toutes les lignes correspondent au centre du cercle].
Si l'on assimile les "lignes" dont il parle aux lignes de convergence et le "centre du cercle" au point de fuite, la perspective est née.
Il faut pourtant préciser que chez Vitruve, cette représentation est strictement architecturale et n'implique pas de genre comme le portrait, la nature morte, le paysage etc.
De plus, la représentation qu'il décrit implique seulement le ou les bâtiment(s) qu'il souhaite représenter et pas leurs environnements (celui présent sur le tableau et celui extérieur). Il n'est pas question d'espace quadrillé : la représentation dépend de l'objet.

Dans le traité de Vitruve traduit et annoté par De Bioul, celui-ci remet en cause le fait que les lois de la perspective aient été découvertes pendant la Renaissance. Il affirme que, bien qu'elles n'aient pas toujours été respectées pendant l'Antiquité, on les connaissait déjà. En effet, il estime que si la plupart des peintres dont on a retrouvé les peintures n'appliquaient pas les lois de la perspective, c'est que ceux-ci les ignoraient. Mais, d'après De Bioul cela ne signifie pas que tous les peintres les ignoraient.
références : Vitruve, L'architecture de Vitruve, tr. en françois avec des remarques par De Bioul. Bruxelles : 1816.

Voir le livre numérisé par Google

Pour voir le commentaire de De Bioul se référant à la perspective, voir pp. 304-305.

Ce bref passage du traité de Vitruve remet en question toutes les recherches que j'ai pu mener sur les grands savants de la Renaissance ainsi que tous les autres ouvrages que j'ai pu consulter. Ainsi, je n'ai pas tenu compte de cette remarque par rapport à l'élaboration de mon TPE n'ayant pas plus d'informations et ne l'ayant découverte que tardivement. Si vous avez des informations sur le sujet, n'hésitez pas à m'envoyer un mail ou à laisser un commentaire sur le blog, cette découverte  laisse mon travail en suspens.

voir la suite : Brunelleschi

Étude de la Cène, de De Vinci

De Vinci, La Cène, fresque à la détrempe et à l'huile, 460*880 cm, 1494-1498. Milan, Santa Maria delle Grazie, couvent dominicain.

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Léonard de Vinci, grand savant du XV° siècle, a participé à la diffusion d'un art différent de celui réalisé jusque là, notamment grâce à l'application des règles de la perspective. Pourtant, dans son tableau la Cène, l'image perspective de ses assiettes n'est pas correcte.

En peignant la Cène, Léonard de Vinci a été en effet confronté au problème de la représentation des assiettes. Cette fresque est très large (vous pouvez voir les conséquence d’une représentation élargie sur la figure ci-dessous). Les assiettes disposées sur la table ne sont pas conformes aux règles de la perspective. Le peintre a préféré les représenter de façon à ce qu’une personne qui se déplace devant la fresque ne soit pas troublée et voit toutes les assiettes dans la même perspective. Véronèse applique la même règle dans les noces de Cana.

Il faut noter ici que le peintre peut se permettre cette transgression de la perspective car il en connaît lui-même les lois.  Son but n'est pas de faire passer un symbole, mais bien de montrer au spectateur une représentation la plus "vraie" possible, ce qui est le principe même de la perspective, le spectateur n'en est pas choquer mais au contraire, il apprécie la véracité de l'oeuvre.

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Représentation d'assiette d'un point de vue en perspective exact.

Sur la figure ci-dessus, on a dessiné des assiettes dont la représentation en perspective est exacte si le point de fuite est H et le point de distance I. Sous la ligne, on a dessiné les assiettes vues de dessus et au dessus de la ligne, on a représenté les mêmes assiettes vues en perspective.
 

De Vinci aurait aussi pu, comme dans une œuvre de Marcel Duchamp (1887-1968), placé le tableau dans une chambre close, visible seulement par un petit orifice pratiqué dans une cloison. Le point de vue aurait été unique, le spectateur n’aurait pas été troublé par la représentation de la perspective.

• ALBERTI L. B., De la peinture. tr. par J.L. Schefer. Paris : Macula, 1992, 269 p.

• DÜRER A., Géométrie. tr. par J. Peiffer. Seuil, 1995, 410 p.

• FAVENNEC D. en coll. avec RIBOULET-DEYRIS E., Douce perspective : une histoire de science et d'art. Paris : Ellipses, 2007, 242 p.

• GIIBERT T., Proposition 12 : La perspective en questions. Louvain-la-Neuve (Belgique) : GEM Ciaco, 1987,  189 p.

• HAMON G., GARNIER G., Mathématiques : enseignement de spécialité. Paris : Ellipses, 2006, ch. 6 et 7 pp. 141-213.

• I.R.E.M., Activités d'histoire des mathématiques. Rennes : I.R.E.M., 1995, t. II, ch. VII pp. 95-113.

• PIERO DELLA FRANCESCA, De la perspective en peinture. tr. par J.P. Le Goff. Paris : In Medias Res, 1998, 351 p.

• WINZINGER F., Dürer. Hambourg : Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, 1971, 159 p.

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On place le point O,  œil du peintre.

On place les point A, B, C, D, E, F et G et A’, B’, C’, D’, E’, F’et G’, ainsi que le point F (en face le point E- voir le dessin du dessus- et à la même hauteur que O).

On trace les segments [AF], [BF], …[GF] et [A’P], [B’P], … [E’P].

On appelle F’’, E’’, D’’ etc. les points d’intersection de (T) et [F’P].

On trace les droites horizontales passant par F’’, E’’, D’’, etc.

Dürer et ses travaux sur la perspective

Albrecht Dürer (1471-1528) est un peintre, graveur et mathématicien allemand. Après un séjour en Italie, il se passionne pour les mathématiques. Il rédige l'ouvrage « Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit », imprimé en 1525 (Instruction sur la manière de mesurer à l'aide du compas et de l'équerre, tr. Peiffer J., Géométrie, Seuil, 1995) qui contient des gravures représentant des installations pour dessiner en perspective, comme le perspectographe dont il explique l'utilisation. Ce perspectographe est un outil qui permet de voir la scène à représenter au travers d'une vitre où les points importants sont reportés. Ainsi Dürer parle de « Durchsehung », c'est-à-dire « vue à travers ».

voir la page consacrée au perspectographe

voir la page consacrée à la mise en pratique de la fenêtre de Dürer

Les gravures ci-dessous illustrent dans son traité la façon de se servir de sa fameuse « fenêtre de Dürer » :

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Dans son traité, Dürer fait de la perspective centrale une science à part entière, impliquant recherches et démonstrations. Il y reprend la « construzione legittima » d'Alberti permettant de dessiner un carrelage en perspective puis dessine ensuite se qu'il appelle la « voie abrégée » qui reprend la technique d'Alberti tout en la simplifiant. Il décrit l'ombre portée en fonction de la direction de la source lumineuse. Les ombres portées prennent une place importante dans le traité de Dürer qu'il construit de la même manière que le carrelage d'Alberti. On peut noter qu'il associe ici lumière et perspective qui témoigne d'une volonté de ne pas séparer la représentation et la vue.

Dürer décrit dans son ouvrage la manière d'obtenir le tracé de l'ombre d'un cube. Il suffit de suivre les consignes énoncées :

« Construit donc un premier plan carré, efgh. Pose un cube sur le plan. Il y sera représenté par une surface carrée, car les quatre sommets supérieurs tombent sur les quatre inférieurs. C’est pourquoi chaque sommet aura une double désignation, les quatre sommets inférieurs seront appelés a, b, c, d et les quatre supérieurs 1, 2, 3, 4. C’est pourquoi ils se réunissent en a1, b2, c3, d4. Le plan inférieur est ainsi terminé.

Ce support carré avec le cube posé dessus, il convient maintenant de la faire monter comme un tailleur de pierre (architecte) fait monter dans le dessin, ses fondations à partir du plan.

Procède comme suit. Mène au-dessus du plan carré efgh un segment horizontal, parallèle au côté de ce plan, de même longueur et dont une extrémité est e, h et l’autre f, g. Ce segment signifie la même chose que le plan inférieur efgh et c’est pourquoi ses deux extrémités sont désignées par des lettres doubles.

Ensuite, élève des droites verticales issues des sommets a1, b2, c3, d4 du plan inférieur et prolonge-les d’une hauteur de cube au-delà de l’horizontale efgh. Tu détermineras ainsi la place qu’occupe le cube sur l’horizontale qu’on vient d’imaginer. L’arête inférieure du cube reposant sur le segment horizontal eh, fg, sera désignée par a, d à une extrémité et pas b, d de l’autre. L’arête supérieure sera 1, 4 et 2, 3. Ainsi les quatre sommets du cube dressés 1, 4 ; 2, 3 ; b, c ; a, d seront situés, ce qui est tout à fait compréhensible, au dessus de son plan inférieur.

Ensuite il convient de placer la source de lumière. Mais de même que j’ai construit deux plans, un plan abaissé et un plan dressé, je dois placer, dans chacun des plans, sa lumière particulière. Dans le plan dressé, je fixe la hauteur de la source lumineuse au-dessus ou au dessous du cube, et dans le plan abaissé je détermine sa distance latérale du cube ou je la place au milieu.

Ici cependant tu peux placer, dans le plan dressé, la lumière o à une distance et à une hauteur arbitraires.

Dans le plan abaissé, place la seconde lumière p de tel côté que tu voudras, mais fais en sorte que les deux lumières soient à la même distance latérale du cube abaissé et dressé. Ensuite mène deux rayons en ligne droite du point o de la lumière supérieure aux angles supérieurs du cube dressé 1, 4 et 2, 3. Marque les points où ces rayons tombent sur la droite e, f et g, h, par les lettres i et k. L’ombre portera jusque là. Ensuite, mène les rayons du point p de la lumière inférieure aux sommets du plan du cube, points désignés par b, 2 ; c, 3 ; d, 4. Laisse progresser les rayons. Les points d’intersections des lignes droites abaissées des points i et k avec les rayons de la lumière inférieurs qu’on vient de tracer dans le plan y indiqueront la longueur et la largeur de l’ombre. Désigne les extrémités de l’ombre par l, m, n. Relie ces points par des lignes droites. Relie de même b, 2 à l et d, 4 à n. Tu obtiendras ainsi le contour de l’ombre.

Remarque notamment que ces deux lumières ne font qu’une, comme la ligne d’extrémité e, f et f, g ne fait qu’un avec le plan efgh situé dessous, ainsi que je l’ai déjà dit plus haut. Les cubes abaissé et dressé ne forment de même qu’un seul objet. En somme, les deux plans et les deux lumières sont comme un objet mais scindé en deux pour faciliter l’usage. »

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Figures associées aux explications du tracé de l'ombre d'un cube.

voir la suite : Desargues

Figure 1. Correction.

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1. La droite (OA) est incluse dans la plan (ABO). Les droites (BO) et (CO) aussi.

a appartient à (ABO) et à (T), de même que b et c.

Donc a, b et c sont alignés.

2.1. Voir figure 1.

2.2. (OF) est incluse dans la plan (ABO), F appartient à (ABO) et à (T) comme a, b, c et M donc M, a, b, c et F sont alignés.

2.3. Non, car (OF) est parallèle à (AB) donc aucun point de (OF) ne peut appartenir au sol (S).

3.

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a et b appartiennent au plan (ABO) et à (T). L'intersection de ces deux plans est une droite parallèle à (AB). On en déduit que (ab) est parallèle à (AB).